Question

在平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，-1），B點在直線y=-3上，M點滿足

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，M點的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處的切線，求O點到l距離的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）并代入

MB

∥

OA

，

MA

•

AB

=

MB

•

BA

，即可求得M點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設P（x₀，y₀）為C上的點，求導，寫出C在P點處的切線方程，利用點到直線的距離公式即可求得O點到l距離，然后利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：（Ⅰ）設M（x，y），由已知得B（x，-3），A（0，-1）．
所

MA

=（-x，-1-y），

MB

=（0，-3-y），

AB

=（x，-2）．
再由題意可知（

MA

+

MB

）•

AB

=0，即（-x，-4-2y）•（x，-2）=0．
所以曲線C的方程式為y=

1

4

x2-2．

（Ⅱ）設P（x₀，y₀）為曲線C：y=

1

4

x2-2上一點，因為y′=

1

2

x，所以l的斜率為

1

2

x₀，
因此直線l的方程為y-y₀=

1

2

x₀（x-x₀），即x₀x-2y+2y₀-x₀²=0．
則o點到l的距離d=

|2y0-x02|

4+x02

．又y₀=

1

4

x02-2，
所以d=

1 2 x02+4

4+x02

=

1

2

(

x02+4

+

4

4+x02

)≥2，
所以x₀²=0時取等號，所以O點到l距離的最小值為2．

點評：此題是個中檔題．考查向量與解析幾何的交匯點命題及代入法求軌跡方程，以及導數的幾何意義和點到直線的距離公式，綜合性強，考查了同學們觀察、推理以及創造性地分析問題、解決問題的能力．