Question

【題目】已知函數f（x）= sinxcosx+sin2x﹣ ．
（1）求f（x）的最小正周期及其對稱軸方程；
（2）設函數g（x）=f（ + ），其中常數ω＞0，|φ|＜ ． （i）當ω=4，φ= 時，函數y=g（x）﹣4λf（x）在[ ， ]上的最大值為 ，求λ的值；
（ii）若函數g（x）的一個單調減區間內有一個零點﹣ ，且其圖象過點A（ ，1），記函數g（x）的最小正周期為T，試求T取最大值時函數g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）= sinxcosx+sin2x﹣ ．

化簡可得：f（x）= sin2x﹣ cos2x=sin（2x﹣ ）

f（x）的最小正周期T= ，

由2x﹣ = ，（k∈Z），可得對稱軸方程為：x= ，（k∈Z）．

（2）解：由函數g（x）=f（ + ）=sin（ωx+φ），

（i）當ω=4，φ= 時，函數y=g（x）﹣4λf（x）=sin（4x+ ）﹣4λsin（2x﹣ ）

=cos（4x﹣ ）﹣4λsin（2x﹣ ）=1﹣2sin2（2x﹣ ）﹣4λsin（2x﹣ ）=﹣2[sin（2x﹣ ）+λ]2+1+2λ2．

∵x∈[ ， ]上，

則2x﹣ ∈[0， ]．

故sin（2x﹣ ）∈[0，1]．

當λ∈[﹣1，0]時，則有1+2λ2= ，解得：λ= ；

當λ∈（0，+∞）時，sin（2x﹣ ）=0時，y取得最大值，此時﹣2[sin（2x﹣ ）+λ]2+1+2λ2=1，與題意不符．

當λ∈（﹣∞，﹣1）時，sin（2x﹣ ）=1時，y取得最大值，此時﹣2[1+λ]2+1+2λ2=﹣1﹣4λ= ，解得：λ=﹣ ，不在其范圍內，故舍去．

故得滿足題意的λ的值為 ．

（ii）函數g（x）=sin（ωx+φ），若函數的周期最大為T，單調減區間內有一個零點﹣ ，

且其圖象過點A（ ，1），則有 = =3π，解得：T=4π，∴ω= = ．

點（ ，1）在圖象上，可得： +φ=2kπ．∵|φ|＜ ．∴φ=﹣ 不符合題意．舍去．

當 = =3π，解得：T= ．∴ω= ．

點（ ，0）在圖象上， +φ=﹣π+2kπ．∵|φ|＜ ．∴φ= ，

∴g（x）的解析式為：g（x）=sin（ x﹣ ）

點（ ，1）在圖象上，

驗證：sin（ ）=sin =1符合題意．

故得g（x）的解析式為：g（x）=sin（ x﹣ ）．

【解析】（1）利用二倍角以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，結合三角函數的圖象和性質對稱軸方程（2）（i）求出g（x）的解析式，當ω=4，φ= 時，求函數y=g（x）﹣4λf（x），化簡，結合三角函數的圖象和性質在[ ， ]上的最大值為 ，討論，可求λ的值．（ii）若函數的周期最大為T，單調減區間內有一個零點﹣ ，且其圖象過點A（ ，1），則有 = =3π，求解T的最大值．可得ω；圖象過點A（ ，1），帶入g（x）化簡，求解φ，從而可得函數g（x）的解析式．