Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，R在x軸，y軸上的射影分別為點(diǎn)S，T，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線(xiàn)C，曲線(xiàn)C與x軸交于A，B兩點(diǎn)．

（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）已知直線(xiàn)AP，BP分別交直線(xiàn)于點(diǎn)M,N，曲線(xiàn)C在點(diǎn)Р處的切線(xiàn)與線(xiàn)段MN交于點(diǎn)Q，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設(shè)，，根據(jù)已知求出代入，即得曲線(xiàn)C的方程；（2）設(shè)，先求出曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為．令，得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，再根據(jù)求出的值.

（1）設(shè)，，則，又R在x軸，y軸上的射影分別為點(diǎn)S，T，

所以，．由，得代入，

得，故曲線(xiàn)C的方程為．

（2）設(shè)，則．

不妨設(shè)直線(xiàn)AP的方程為，

令，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為；直線(xiàn)BP的方程為，

令，得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為．

設(shè)曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為，

由得．

由，得，

整理得．

將，代入上式并整理，

得．解得，

所以曲線(xiàn)C在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為．

令，得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為．

設(shè)，所以，

所以，所以

將代入上式，得，

解得，即．