Question

【題目】若項數為的單調增數列滿足：①；②對任意，存在使得；則稱數列具有性質.

（1）分別判斷數列1，3，4，7和1，2，3，5是否具有性質，并說明理由；

（2）若數列具有性質，且.

（i）證明數列的項數；

（ii）求數列中所有項的和的最小值.

Answer 1

【答案】（1）數列1，3，4，7不具備性質P，數列1，2，3，5具有性質；（2）（i）證明見解析，（ii）75

【解析】

（1）根據定義驗證即可得解；

（2）（i）根據數列關系分析，結合，即可得到，即可得證；

（ii）構造數列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，再證明75是最小值.

（1）因為，數列1，3，4，7不具備性質P，

，所以數列1，2，3，5具有性質；

（2）（i）證明：數列單調遞增，具有性質，且，，

所以，即，所以，，

所以，

所以；

（ii）構造數列：1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，顯然這兩個數列滿足性質，

且數列之和均為75，下面說明75為數列中所有項的和的最小值，

若18在數列中，要求數列中的所有項的和最小，則，

若18不在數列中，，由（i）可知，

數列所有項之和，

所以要使所有項之和最小，必有，

同理可得要使數列中所有項的和最小，必有，，

同理可得：或5，

依次類推，要使數列中的所有項的和最小，該數列為1,2,4,5,9,18,36，或1,2,3,6,9,18,36，

綜上所述：數列中所有項的和的最小值為75.