Question

（本小題滿分12分）在直角坐標系xOy中，曲線C₁的點均在C₂：（x-5）²＋y²=9外，且對C₁上任意一點M，M到直線x=﹣2的距離等于該點與圓C₂上點的距離的最小值.

（1）求曲線C₁的方程；

（2）設P(x₀,y₀)（y₀≠±3）為圓C₂外一點，過P作圓C₂的兩條切線，分別與曲線C₁相交于

點A，B和C，D.證明：當P在直線x=﹣4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）.

（2）當P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400.

【解析】(1) 曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，由拋物線的定義可知曲線C₁為拋物線，此方程為.

(2) 當點P在直線上運動時，設P的坐標為，又，則過P且與圓

相切的切線方程為.則

整理得

設過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，

故

由得

設四點A,B,C,D的縱坐標分別為,

則同理由可得

這樣可得,然后展開將代入化簡即可得到定值.

由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故其方程為.

（2）當點P在直線上運動時，P的坐標為，又，則過P且與圓

相切得直線的斜率存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為.

于是

整理得        ①

設過P所作的兩條切線的斜率分別為，則是方程①的兩個實根，

故      ②

由得     ③

設四點A,B,C,D的縱坐標分別為，則是方程③的兩個實根，

所以    ④

同理可得     ⑤

于是由②，④，⑤三式得

.

所以，當P在直線上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標之積為定值6400.