Question

已知直線l：y=x+b及圓C：x²+y²=1，是否存在實(shí)數(shù)b，使自A（3，3）發(fā)出的光線被直線l反射后與圓相切于點(diǎn)（

24

25

，

7

25

），若存在，求出b的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)b，則A（3，3）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′為（3-b，3+b），故反射線所在直線方程為（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，又反射線與圓x²+y²=1相切，故

|-31b-51|

(25b+68)2+(15b-51)2

=1，由此能夠推導(dǎo)出存在實(shí)數(shù)b=4滿足條件．

解答：解：假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)b，
則A（3，3）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A′為（3-b，3+b），
∴反射線所在直線方程為

y- 7 25

3+b- 7 25

=

x- 24 25

3-b- 24 25

，
即（25b+68）x+（15b-51）y-31b-51=0，
又反射線與圓x²+y²=1相切，
∴

|-31b-51|

(25b+68)2+(15b-51)2

=1，
整理得：b²-8b+16=0，
∴b=4．
∴存在實(shí)數(shù)b=4滿足條件．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的綜合運(yùn)用，考查直線方程的求法和圓的基本性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．