Question

若函數f（x）=ln（ae^x-x-3）的定義域為R，則實數a的取值范圍是

（e²，+∞）

．

Answer 1

分析：f（x）=ln（ae^x-x-3）的定義域為R等價于ae^x-x-3＞0的解集是R，由此能求出實數a的范圍．

解答：解：∵f（x）=ln（ae^x-x-3）的定義域為R，
∴ae^x-x-3＞0的解集是R，即a＞

x+3

ex

恒成立．
設g（x）=

x+3

ex

，則g'（x）=

-x-2

e2

，當x＜-2時g'（x）＞0，當x＞-2時g'（x）＜0，
故g（x）在（-∞，-2）是增函數，在（-2，+∞）上是減函數，
故當x=-2時，g（x）取得最大值g（-2）=e²，
∴a＞e²．
故答案為：（e²，+∞）．

點評：本題考查對數函數的定義域，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．