Question

定義：若存在常數k，使得對定義域D內的任意兩個不同的實數x₁，x₂，，均有：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立，則稱f（x）在D上滿足利普希茨（Lipschitz）條件．對于函數f(x)=lnx+

1

2

x2在區間（0，+∞）滿足利普希茨條件，則常數k的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由所給的定義，將：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立變為

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k，此意義為k小于等于函數的導數的絕對值的最小值．由此關系求k

解答：解：由題意：|f（x₁）-f（x₂）|≥k|x₁-x₂|成立變為

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k，
∵函數f(x)=lnx+

1

2

x2在區間（0，+∞）滿足利普希茨條件
∴f′(x)=

1

x

+x
又x∈（0，+∞）
故f′(x)=

1

x

+x≥2在區間（0，+∞）恒成立
故常數k的最大值為2
故答案為2

點評：本題考查函數的最值的應用，求解本題的關鍵是正確理解定義且能對

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

≥k進行轉化，轉變為求導數的最小值來求參數的取值范圍，本題易因為對導數的意義與本題中所給的定義不理解而導致錯誤，解題時要注意積累這方面的轉化經驗．