Question

（2011•晉中三模）若對任意的x∈A，y∈B，（A⊆R，B⊆R），有唯一確定的f（x，y）與之對應，則稱f（x，y）為關于x、y的二元函數．現定義滿足下列性質的二元函數f（x，y）為關于實數x、y的廣義“距離”：
（1）非負性：f（x，y）≥0，當且僅當x=y時取等號；
（2）對稱性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）對任意的實數z均成立．
今給出下列四個二元函數：①f（x，y）=|x-y|；  ②f（x，y）=（x-y）²；
③f(x，y)=

x-y

； ④f（x，y）=x²+y²．
能夠稱為關于實數x、y的廣義“距離”的函數的序號是

①④

．

Answer 1

分析：先理解所給的定義，根據其中的三個規則百負性，對稱性，三角不等式對所給的四個函數進行驗證，找出符合條件的函數，填上它的序號

解答：解：由所給的定義
對于①f（x，y）=|x-y|，顯然f（x，y）≥0，當且僅當x=y時取等號，故滿足非負性，又|x-y|=|y-x|，故對稱性成立，又|x-y|=|x-z+z-y|≤|x-z|+|z-y|，故第三個性質也滿足，①符合題意
對于②，不妨令x-y=2，則有x-

x+y

2

=

x+y

2

-y=1，此時有（x-y）²=4，而　（x-

x+y

2

）²=（

x+y

2

-y）²=1，故f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）不成立，所以不滿足三角不等式，
對于③，由于x-y＞0時，f(y，x)=

y-x?

無意義，故③不對；
對于④，三個性質都滿足，故④符合題意

點評：本題考查抽象函數及其應用，解題的關鍵是理解所給的定義，根據定義的規則進行判斷，本題是一個探究型題，一定要對定義理解透徹，嚴格按定義中所給的規則進行判斷，本題考查了推理判斷的能力及符號計算的能力