Question

已知曲線C：xy＝1過C上一點(diǎn)A_n(x_n，y_n)作一斜率為的直線交曲線C于另一點(diǎn)A_n+1(x_n+1，y_n+1)，點(diǎn)列A_n(n＝1，2，3，…)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中．

(1)求x_n與x_n+1的關(guān)系式；

(2)求證：是等比數(shù)列；

(3)求證：(－1)x₁＋(－1)²x₂＋(－1)³x₃＋…＋(－1)ⁿx_n＜1(n∈N，n≥1)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)過C：上一點(diǎn)作斜率為的直線交C于另一點(diǎn)， 　　則……3分 　　于是有：．……4分 　　(Ⅱ)記，則由(Ⅰ)得：……6分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0929/0022/d243abb643fa937617a32761f4ac944b/C/Image119.gif" width=49 height=41>，故， 　　因此數(shù)列是等比數(shù)列……8分 　　(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：，則 　　∴……10分 　　若為奇數(shù)： 　　 　　……12分 　　于是：①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)： 　　 　　②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，于是有： 　　 　　＝， 　　綜合①②可知原不等式得證．……14分