Question

（2013•南通一模）已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點與圓x²+y²-10x=0的圓心重合，且雙曲線的離心率等于

5

，則該雙曲線的標準方程為

x2

5

-

y2

20

=1

．

Answer 1

分析：將圓化成標準方程得圓x²+y²-10x=0的圓心為F（5，0），可得c=

a2+b2

=5，結合雙曲線的離心率e=

c

a

=

5

算出a=

5

，由平方關系得到b²=20，由此即可得出該雙曲線的標準方程．

解答：解：∵圓x²+y²-10x=0化成標準方程，得（x-5）²+y²=25
∴圓x²+y²-10x=0的圓心為F（5，0）
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的一個焦點為F（5，0），且的離心率等于

5

，
∴c=

a2+b2

=5，且

c

a

=

5

因此，a=

5

，b²=c²-a²=20，可得該雙曲線的標準方程為

x2

5

-

y2

20

=1
故答案為：

x2

5

-

y2

20

=1

點評：本題給出雙曲線的離心率，并且一個焦點為已知圓的圓心，求雙曲線的標準方程，著重考查了圓的標準方程、雙曲線的基本概念和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．