Question

（本題滿分14分） 圓的半徑為3，圓心在直線上且在軸下方，軸被圓截得的弦長為。（1）求圓的方程；

（2）是否存在斜率為1的直線，使得以被圓截得的弦為直徑的圓過原點？若存在，求出的方程；若不存在，說明理由

Answer 1

解：（1）∵圓心在直線上且在軸下方,

∴設，又∵圓的半徑為3，且軸被圓截得的弦長為

∴，解得

∴C（1，-2）

圓C的方程是（X-1）²+（Y+2）²=9

（2）設L的方程y=x+b，以AB為直徑的圓過原點，則

OAOB，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x₁x₂+ y₁y₂=0      ①

由得

要使方程有兩個相異實根，則

△=＞0  即<b< 

  

由y₁=x₁+b，y₂=x₂+b，代入x₁x₂+  y₁y₂=0，得2x₁x₂+（x₁+x₂）b+b²=0

即有b²+3b-4=0，b=-4,b=1

故存在直線L滿足條件，且方程為或