Question

（1）（用綜合法證明） 若a＞0，b＞0，求證：(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4
（2）（用反證法證明） 已知x，y∈R⁺，且x+y＞2，求證：

1+x

y

與

1+y

x

中至少有一個小于2．

Answer 1

分析：（1）根據a＞0，b＞0，可得a+b≥2

ab

，同理可證

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，相乘即得所證．
（2）假設

1+x

y

與

1+y

x

 都大于或等于2，可得

1+x≥2y 1+y≥2x

，從而推出x+y≤2，這與x+y＞2矛盾，故假設不成立，
命題得證．

解答：解：（1）證明：∵a＞0，b＞0，
∴a+b≥2

ab

，（當且僅當a=b時，取“=”號）…（2分）
∴

1

a

+

1

b

≥2

1 ab

，∴(a+b)(

1

a

+

1

b

)≥4． …（6分）
（2）假設：

1+x

y

與

1+y

x

 都大于或等于2，
∵x，y∈R^*，∴

1+x≥2y 1+y≥2x

，
∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2，這與x+y＞2矛盾，…（11分）
∴假設不成立．
所以，

1+x

y

與

1+y

x

中至少有一個小于2．   …（12分）

點評：本題考查用綜合法法和反證法證明不等式，用反證法證明數學命題時，推出矛盾，是解題的關鍵和難點，屬于中檔題．