Question

已知函數(shù)y=f（x），x∈R，有下列4個命題：
①若f（1+2x）=f（1-2x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
③若y=f（x）為偶函數(shù)，且y=f（2+x）=-f（x），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
④若y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），則y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①先用換元法將f（1+2x）=f（1-2x）轉(zhuǎn)化，再由轉(zhuǎn)化后的形式判斷對稱軸的方程．
②y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱可轉(zhuǎn)化為證明y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱的問題，再結(jié)合圖象的平移知識進行判斷．
③用-x換x，由題設條件和偶函數(shù)的性質(zhì)得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱．
④用-x換x，由題設條件和奇函數(shù)的性質(zhì)得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱．

解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=1對稱
即y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，故①是真命題．
②由題設知y=f（2-x）=f[-（x-2）]，由于函數(shù)y=f（x）與y=f（-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，∴y=f（x-2）與y=f（2-x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱，故②是假命題．
③f（x）為偶函數(shù)，且f（2+x）=-f（x），用-x換x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，故③是真命題．
④∵y=f（x）為奇函數(shù)，且f（x）=f（-x-2），用-x換x得，f（-x）=f（x-2），
∴y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=-1對稱，因為函數(shù)=f（x）為奇函數(shù)，所以根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知函數(shù)關(guān)于x=1也對稱，故④是真命題．
故選C．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數(shù)的對稱性、平移變換、奇偶性的合理運用．