Question

甲、乙、丙三人獨立破譯同一份密碼，已知甲、乙、丙各自破譯出密碼的概率分別為

1

2

，

1

3

，p．且他們是否破譯出密碼互不影響．若三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

．
（Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率；
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）設甲、乙、丙三人中破譯出密碼的人數為X，求X的分布列和數學期望EX．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記甲、乙、丙三人各自破譯密碼的事件為A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互獨立，P(A1) =

1

2

，p(A2)  =

1

3

，p(A3)=p，甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率p1=1-p(

.

A1

.

A2

)．
（Ⅱ）由三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

．知

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，由此能求出p=

1

4

．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，p（X=0）=

1

4

．p（X=1）=

11

24

．p（X=2）=

1

4

．p（X=3）=

1

24

．由此能求出X的分布列和期望．

解答：解：記甲、乙、丙三人各自破譯密碼的事件為A₁，A₂，A₃，且，A₁，A₂，A₃相互獨立，
則P(A1) =

1

2

，p(A2)  =

1

3

，p(A3)=p，
（Ⅰ）甲乙二人中至少有一人破譯出密碼的概率
p1=1-p(

.

A1

.

A2

)=1-（1-

1

2

）（1-

1

3

）=

2

3

．
（Ⅱ）∵三人中只有甲破譯出密碼的概率為

1

4

．
∴

1

2

×(1-

1

3

)×(1-p)=

1

4

，
解得p=

1

4

．
（Ⅲ）X的可能取值為0，1，2，3，
p（X=0）=（1-

1

2

）（1-

1

3

）（1-

1

4

)=

1

4

．
p（X=1）=

1

2

×(1-

1

3

) ×(1-

1

4

) +(1-

1

2

) ×

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

2

) ×(1-

1

3

) ×

1

4

=

11

24

．
p（X=2）=

1

2

×

1

3

×(1-

1

4

) +

1

2

×(1-

1

3

) ×

1

4

+(1-

1

2

) ×

1

3

×

1

4

=

1

4

．
p（X=3）=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
∴X的分布列是

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

EX=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解（1）題時要注意對立事件的運用，解（2）題時要注意方程思想的運用，解（3）題時要認真審題，避免漏解．