Question

已知函數是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3），
（1）求實數a，b的值；
（2）求函數f（x）的值域；
（3）證明函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，并寫出f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：法一：（1）由函數是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3），知，由此能求出a，b．
（2）由f（x）==1+，知2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，知，或，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定義法能證明函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，再由函數f（x）是奇函數，能求出f（x）的單調減區間．
法二：（1）由f（x）是奇函數，知，由此能求出a，b．
（2）由y=f（x）=，知＞0，由此能求出f（x）的值域．
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，利用定義法能證明函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，再由函數f（x）是奇函數，能求出f（x）的單調減區間．
解答：解法一：（1）：函數是奇函數，并且函數f（x）的圖象經過點（1，3），
∴，（3分）即，（4分）
解得a=1，b=-1．經檢驗f（x）為奇函數，
故a=1，b=-1．（5分）
（2）∵a=1，b=-1．
∴f（x）==1+，（7分）
∵2^x＞0，
∴2^x-1＞-1，且2^x-1≠0，∴，或，
∴f（x）＜-1，或f（x）＞1．
∴f（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∵函數f（x）是奇函數，∴f（x）在（-∞，0）上也是遞減，（15分）
∴f（x）的單調減區間為（-∞，0），（0，+∞）．（16分）  
解法二：（1）∵f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即，
得（ab+1）•2^2x+2（a+b）•2^x+ab+1=0，
∴，得，或，…（3分）
又∵f（1）=3，∴，即2a-3b=5，
∴a=1，b=-1．…（5分）
（2）∵a=1，b=-1，∴y=f（x）=，∴，（7分）
∵2^x＞0，∴，解得y＜-1，或y＞1．
∴f（x）的值域為（-∞，-1）∪（1，+∞）．（10分）
（3）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
則f（x₂）-f（x₁）==，
∵0＜x₁＜x₂，
∴，，，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減
∵函數f（x）是奇函數，∴f（x）在（-∞，0）上也是遞減，（15分）
∴f（x）的單調減區間為（-∞，0），（0，+∞）．（16分）
點評：本題考查函數的解析式的求法，考查函數的值域的求法，考查函數的單調性的判斷．解題時要認真審題，注意待定系數法、分離常數法、定義法和等價轉化思想、函數奇偶性的合理運用．