Question

（2012•寧城縣模擬）不等式選講
已知f（x）=|x|+|x-3|，若不等式f（x）＞a-x恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數，再分段求出不等式f（x）＞a-x恒成立時，a的范圍，從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=|x|+|x-3|，
∴f（x）=

-2x+3，x＜0 3，0≤x≤3 2x-3，x＞3

（1）x＜0時，-2x+3＞a-x，∴a＜-x+3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立時，a＜3
（2）0≤x≤3時，3＞a-x，∴a＜x+3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立時，a＜3
（3）x＞3時，2x-3＞a-x，∴a＜3x-3，∴不等式f（x）＞a-x恒成立時，a＜6
綜上知，a＜3．

點評：本題重點考查不等式恒成立問題，解題的關鍵是利用絕對值的幾何意義，寫出分段函數，屬于基礎題．