Question

對于函數f（x），其定義域為D，若任取x₁、x₂∈D，且x₁≠x₂，若f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）為定義域上的凸函數．
（1）設f（x）=ax²（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數，并說明原因；
（2）若函數f（x）=㏒_ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數，試求出實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）f（x）不是其定義域上的凸函數．
f（x）的定義域為R，設x₁≠x₂，則
f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=a(

x1+x2

2

)2-

1

2

（ax12-ax22）=-

a(x1-x2)2

4

＜0，…2分
∴f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…4分
∴f（x）不是其定義域上的凸函數…6分
（2）∵f（x）的定義域為（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）內是凸函數，
∴f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，…8分
即loga

x1+x2

2

＞

1

2

（log_ax₁+log_ax₂）=loga

x1x2

①…10分
∵x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，
∴(

x1+x2

2

)2-x₁x₂=

(x1-x2)2

4

＞0，即

x1+x2

2

＞

x1x2

…12分
故要①成立，則a＞1．
∴實數a的取值范圍是（1，+∞）…14分