Question

【題目】已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn ， 且S2=6，S4=30，n∈N* ， 數列{bn}滿足bnbn+1=an ， b1=1
（1）求an ， bn；
（2）求數列{bn}的前n項和為Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設正項等比數列{an}的公比為q（q＞0），

由題意可得a1+a1q=6，a1+a1q+a1q2+a1q3=30，

解得a1=q=2（負的舍去），

可得an=a1qn﹣1=2n；

由bnbn+1=an=2n，b1=1，

可得b2=2，

即有bn+1bn+2=an=2n+1，

可得 =2，

可得數列{bn}中奇數項，偶數項均為公比為2的等比數列，

即有bn= ；

（2）解：當n為偶數時，前n項和為Tn=（1+2+..+ ）+（2+4+..+ ）

= + =3（ ）n﹣3；

當n為奇數時，前n項和為Tn=Tn﹣1+

=3（ ）n﹣1﹣3+ =（ ）n+3﹣3．

綜上可得，Tn=

【解析】（1）設正項等比數列{an}的公比為q（q＞0），由等比數列的通項公式，解方程可得首項和公比均為2，可得an=a1qn﹣1=2n；再由n換為n+1，可得數列{bn}中奇數項，偶數項均為公比為2的等比數列，運用等比數列的通項公式，即可得到所求bn；（2）討論n為奇數和偶數，運用分組求和和等比數列的求和公式，化簡整理即可得到所求和．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．