Question

已知函數f（x）的定義域為R，且對于一切實數x滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]時，f（x）=（x-2）²，求當x∈[16，20]時，函數g（x）=2x-f（x）的表達式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，記f（x）=0在區間[-1000，1000]上的根數為N，求N的最小值．

Answer 1

分析：（1）將f（x+2）=f（2-x）中的x用x-2代替得到f（x）=f（4-x），再將f（x+7）=f（7-x）中的x用3+x代替得到f（10+x）=f（4-x）；求出函數的周期；利用周期求出f（-5）
（2）由于x∈[16，17]，x-10∈[6，7]，求出f（x-10）的值；利用函數的周期性求出f（x）；同樣的方法求出其它各范圍內的解析式；求出g（x）的解析式；求出g（x）各段的最值，比較各段最值求出g（x）的最值．
（3）據對稱性求出在一個周期上的根的個數；求出區間含周期的個數，求出區間內根的個數．

解答：解（1）由f（x+2）=f（2-x）及f（x+7）=f（7-x）得：f（x）的圖象關于直線x=2，x=7對稱．
∴f（x）=f[（x-2）+2]
=f[2-（x-2）]=f（4-x）
=f[7-（3+x）]=f（7+（3+x））
=f（x+10）
∴f（x）是以10為周期的周期函數．
∴f（-5）=f（-5+10）=f（5）=9
（2）當x∈[16，17]，x-10∈[6，7]
∴f（x）=f（x-10）=（x-10-2）²=（x-12）²
當x∈（17，20]，x-20∈（-3，0]，4-（x-20）∈[4，7）
∴f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]
=f（24-x）=（x-22）²
∴g（x）=

2x-(x-12)2      x∈[16，17] 2x-(x-22)2      x∈(17，20]

∵x∈[16，17]時，g（x）最大值為16，最小值為9；x∈（17，20]，g（x）＞g（17）=9，g（x）≤g（20）=36
∴g（x）的最大值為36，最小值為9．
（3）由f（0）=0，及f（0）=f（4）=0，知f（0）在[0，10）上至少有兩個解．
而在[-1000，1000）上有200個周期，至少有400個解．又f（1000）=0
所以最少有401個解．且這401個解的和為-200．

點評：本題考查據函數周期的定義求函數的周期、考查利用函數的周期性求函數的解析式、
考查利用函數的周期性求函數的根的個數．