Question

某化工廠打算投入一條新的生產線生產某種化工產品，但需要經過環保部門審批同意后方可投入生產．已知該生產線連續生產n個月的累積產量為噸，但如果月產量超過96噸，就會給周邊環境造成污染，環保部門將責令停產一段時間，再進入下一個生產周期．
（Ⅰ）請你代表環保部門給該生產線擬定一個最長的生產周期；
（Ⅱ）按環保管理條例，該生產線每月需要繳納a萬元的環保費．已知這種化工產品每噸的售價為0.6萬元，第n個月的生產成本為萬元．當環保費用a在什么范圍內時，該生產線在最長的生產周期內每月都有盈利？

Answer 1

【答案】分析：（1）先化簡得到第n個月的產量函數，再令
（2）建立利潤函數，則F（n）＞0恒成立，求得a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）設第n個月的產量為a_n噸，則a₁=f（1）=1．（1分）
當n≥2時，a_n=f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（3分）
又a₁=1滿足上式，所以a_n=3n²-2n（n∈N*）．（4分）
令3n²-2n-96≤0，得．又n∈N^*，則n=1，2，3，4，5，6．
故最長生產周期是6個月．（6分）
（Ⅱ）由，得．（8分）
設，據題意，當n=1，2，3，4，5，6時，a＜φ（n）恒成立，則a＜φ（n）_min．
因為，則當n=2時，．（12分）
故當環保費用時，該生產線在最長的生產周期內每月都有盈利．（13分）
點評：本題主要考查函數的實際應用，建模和解模的能力．