Question

已知函數f(x)＝x3(a>0且a≠1)．

(1)求函數f(x)的定義域；

(2)討論函數f(x)的奇偶性；

(3)求a的取值范圍，使f(x)>0在定義域上恒成立．

 

Answer 1

（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函數（3）a>1.

【解析】(1)由于ax－1≠0，則ax≠1，所以x≠0，

所以函數f(x)的定義域為{x|x∈R，且x≠0}．

(2)對于定義域內任意的x，有

f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函數．

(3)①當a>1時，對x>0，

所以ax>1，即ax－1>0，所以＋>0.

又x>0時，x3>0，所以x3>0，

即當x>0時，f(x)>0.

由(2)知，f(x)是偶函數，即f(－x)＝f(x)，

則當x<0時，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．

綜上可知，當a>1時，f(x)>0在定義域上恒成立．

②當0<a<1時，f(x)＝，

當x>0時，0<ax<1，此時f(x)<0，不滿足題意；

當x<0時，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不滿足題意．

綜上可知，所求a的取值范圍是a>1