Question

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓的一個焦點重合，橢圓的左、右頂點分別為，是橢圓上一點，記直線的斜率為、，且有.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點的直線與橢圓相交于不同兩點和，且滿足（為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點可得，由，設(shè)根據(jù)，即可求出，，從而得到橢圓方程；

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元由根的判別式大于零得到，設(shè)可得由得，可得，即可得到，從而得解；

解：（1）依題意， 拋物線的焦點為，則，且

，設(shè)，則有，即

，

，

即橢圓的方程為.

（2）由題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為.

由消去，得

設(shè)，則是方程（*）的兩根，

所以，即①

且

由得，當(dāng)時滿足題意；

當(dāng)時，

由點在橢圓上，則，

即，

再由①和，得

綜上：

.