Question

如圖，點P為平行四邊形ABCD外一點，且PD⊥平面ABCD，M為PC中點．
（1）求證：AP∥平面MBD；
（2）若AD⊥PB，求證：BD⊥平面PAD．

Answer 1

（1）設AC∩BD=H，連接EH，
∵H為平行四邊形ABCD對角線的交點，∴H為AC中點，
又∵M為PC中點，∴MH為△PAC中位線，
可得MH∥PA，
MH?平面MBD，PA?平面MBD，
所以PA∥平面MBD．
（2）∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD，
又∵AD⊥PB，PD∩PB=D，
∴AD⊥平面PDB，結合BD?平面PDB，得AD⊥BD
∵PD⊥BD，且PD、AD是平面PAD內的相交直線
∴BD⊥平面PAD．