Question

24、（理科加試題）若5ⁿ+2×3^n-1+1（n∈N^*）能被正整數m整除，請寫出m的最大值，并給予證明．

Answer 1

分析：先由當n=1時，5¹+2×3⁰+1=8，得出m≤8，進而利用數學歸納法證5ⁿ+2×3^n-1+1．（n∈N^*）能被8整除．

解答：解：當n=1時，5¹+2×3⁰+1=8，∴m≤8，（2分）
下證5ⁿ+2×3^n-1+1．（n∈N^*）能被8整除．（3分）
1、當n=1時已證；（4分）
2、假設當n=k（k∈N^*）時命題成立，即5^k+2×3^k-1+1能被8整除．（5分）
則當n=k+1時，5^k+1+2×3^k+1=5•5^k+6•3^k-1+（16分）=（5^k+2•3^k-1+1）+4（5^k+3^k-1），（7分）
∵5^k+2×3^k-1+1能被8整除，而5^k+3^k-1為偶數，
∴4（5^k+3^k-1）也能被8整除．即當n=k+1時命題也成立．（8分）
由1、2得m的最大值為8（10分）

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基），2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．