Question

已知各項均為正數的數列{a}滿足a=2a+aa，且a+a=2a+4，其中n∈N.
（Ⅰ）若b=，求數列{b}的通項公式；
（Ⅱ）證明：++…+>（n≥2）.

Answer 1

（1）b=（n∈N）
（2）構造函數借助于函數的最值來證明不等式。

試題分析：解：（Ⅰ）因為a=2a+aa，即（a+a）（2a－a）=0.            1分
又a>0，所以有2a－a=0，即2a=a
所以數列是公比為2的等比數列，              3分
由得，解得。
從而，數列{a}的通項公式為a=2（n∈N），即：b=（n∈N）. 5分
（Ⅱ）構造函數f（x）=－（b－x）（x>0），
則f′（x）=－+=，
當0<x<b時，f′（x）>0，x>b時，f′（x）<0，
所以f（x）的最大值是f（b）=，所以f（x）≤.            7分
即≥－（b－x）（x>0，i=1，2，3…n），取“=”的條件是x=b（i=1，2，3…n），
所以++…+>－（b+b+…+b－nx）， 9分
令x=，則++…+>，
所以++…+>，      11分
即++…+>（n≥2）.                12分
點評：解決的關鍵是能利用等比數列來求解通項公式，同時能結合導數來拍腦袋函數單調性，以及求解函數的最值，同時證明不等式，屬于中檔題。