Question

設數列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，(－1)，即當(k∈N^*)時，a_n＝(－1)^k－1k，記S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用數學歸納法證明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．

Answer 1

見解析

①當i＝1時，S_i(2i＋1)＝S₃＝－1·(2＋1)＝－3，
故原式成立．
②假設當i＝m時，等式成立，即S_m(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．
則當i＝m＋1時，
S_{(m＋1)[2(m＋1)＋1]}＝S_{(m＋1)(2m＋3)}＝S_m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)²＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)²＝－(2m²＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．
綜合①②得：S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．