Question

（2013•浙江模擬）在△ABC中，內角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知C=

π

3

．
（Ⅰ）若a=2，b=3，求△ABC的外接圓的面積；
（Ⅱ）若c=2，sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=2，b=3，C=

π

3

，由余弦定理可求得c，再利用正弦定理可求得△ABC的外接圓的半徑，從而可求△ABC的外接圓的面積；
（Ⅱ）利用三角函數間的關系將條件轉化為：sinBcosA=2sinAcosA，對cosA分cosA=0與cosA≠0討論，再分別借助正弦定理，通過解方程組與再由三角形的面積公式即可求得△ABC的面積．

解答：解：（Ⅰ）∵a=2，b=3，C=

π

3

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC
=4+9-2×2×3×

1

2

=7，
∴c=

7

，設其外接圓半徑為R，則2R=

c

sinC

，故R=

21

3

，
∴△ABC的外接圓的面積S=πR²=

7π

3

；
（Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA，
∴sinBcosA=2sinAcosA
當cosA=0時，∠A=

π

2

，∠B=

π

6

，a=

4 3

3

，b=

2 3

3

，可得S=

2 3

3

；
當cosA≠0時，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，
∵c=2，∠C=60°，c²=a²+b²-2abcosC
∴a²+b²-ab=4…②，
聯立①①解得a=

2 3

3

，b=

4 3

3

，
∴△ABC的面積S=

1

2

absinC=

1

2

absin60°=

2 3

3

．
綜上可知△ABC的面積為

2 3

3

．

點評：本題考查余弦定理與正弦定理，考查轉化與方程思想的綜合運用，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．