Question

【題目】已知是圓上的一個動點，過點作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點，且分別交圓于點.

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點，都有成立；

②求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①證明見解析；②.

【解析】

（Ⅰ）設出直線方程，代入橢圓方程,利用直線與橢圓都只有一個公共點,求出直線的斜率,即可求直線的方程；（Ⅱ）①分類討論,斜率不存在時成立，斜率存在時，利用判別式等于零可得關于的一元二次方程，由韋達定理可得成立，即可證得結論；②記原點到直線的距離分別為，可得，設面積為，可得，利用二次函數的性質可求其取值范圍.

（Ⅰ）設直線的方程為,

代入橢圓，消去，

可得，
由,可得，
設的斜率分別為，
直線的方程分別為；
（Ⅱ）①證明:當直線的斜率有一條不存在時,不妨設無斜率
與橢圓只有一個公共點,所以其方程為,
當的方程為時，此時與圓的交點坐標為，

的方程為(或，成立，
同理可證，當的方程為時，結論成立;
當直線的斜率都存在時,設點且，
設方程為,代入橢圓方程，

可得，

由化簡整理得，
，，
設的斜率分別為，

成立，
綜上,對于圓上的任意點，都有成立；
②記原點到直線的距離分別為，

因為，所以是圓的直徑，

所以，

面積為，，

，
.