Question

已知函數f（x）=x²-2（a+2）x+a²，g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8，若max{p，q}表示p，q中較大者，min{p，q}表示p，q中的較小者，設G（x）=max{f（x），g（x）}，H（x）=min{f（x），g（x）}，記G（x）的最小值為A，H（x）的最大值為B，則A-B=

 

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Answer 1

分析：由f（x）=g（x）求出x的值，討論G（x）、H（x）的解析式，得出A與B的表達式，從而計算A-B的值．

解答：解：∵f（x）=x²-2（a+2）x+a²，
g（x）=-x²+2（a-2）x-a²+8，如圖，；
設h（x）=f（x）-g（x）=2x²-4ax+2a²-8=2（x-a）²-8．
①當2（x-a）²-8=0時，解得x=a±2，此時f（x）=g（x）；
②當h（x）＞0時，解得x＞a+2，或x＜a-2，此時f（x）＞g（x）；
③當h（x）＜0時，解得a-2＜x＜a+2，此時f（x）＜g（x）．
綜上，（1）當x≤a-2時，則G（x）=max{f（x），g（x）}=f（x）=[x-（a+2）]²-4a-2，
H（x）=min{f（x），g（x）}=g（x）=-[x-（a-2）]²-4a+12，
（2）當a-2≤x≤a+2時，G（x）=max{f（x），g（x）}=g（x），H（x）=min{f（x），g（x）}=f（x）；
（3）當x≥a+2時，則G（x）=max{f（x），g（x）}=f（x），H（x）=min{f（x），g（x）}=g（x），
∴A=g（a+2）=-[（a+2）-（a-2）]²-4a+12=-4a-4，B=g（a-2）=-4a+12，
∴A-B=-4a-4-（-4a+12）=-16．
故答案為：-16．

點評：本題考查了新定義下的二次函數的值域問題，熟練掌握作差法、正確理解題意，求出A與B的表達式，是解本題的關鍵．