Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是AB₁，BC₁的中點，有如下四個命題：
①EF⊥BB₁ ②EF⊥BD   ③EF與CD異面  ④EF與A₁C₁異面
其中全部真命題的序號是

①②③

．

Answer 1

分析：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接A₁C₁，由E、F分別是AB₁，BC₁的中點，知EF∥A₁C₁，①由A₁C₁⊥BB₁ ，知EF⊥BB₁ ；②由A₁C₁⊥BD，知EF⊥BD；③由EF∥A₁C₁，A₁C₁與CD異面，EF與CD不相交，知EF與CD異面；④由EF∥A₁C₁，知EF與A₁C₁共面．

解答：解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，連接A₁C₁，
∵E、F分別是AB₁，BC₁的中點，
∴EF∥A₁C₁，
①∵A₁C₁⊥BB₁ ，∴EF⊥BB₁ ，故①正確；
②∵A₁C₁⊥BD，∴EF⊥BD，故②正確；
③EF∥A₁C₁，A₁C₁與CD異面，EF與CD不相交，
∴EF與CD異面，故③正確；
④∵EF∥A₁C₁，∴EF與A₁C₁共面，故④不正確．
故答案為：①②③．

點評：本題考查命題的真假判斷，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意平面的基本性質及其推論的應用．