Question

【題目】已知．

（1）當為常數，且在區間變化時，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明略.

【解析】

試題分析：（1）當為常數時，則函數即為關于的函數，求出此函數在區間的單調性，即可求得函數的最小值；

（2）設，先求函數的單調性，再結合零點存在性定理，即可證明.

試題解析：（1）當為常數時，

，

，

當，在上遞增，其最小值

（2）令

由

①當，即時，在區間內單調遞減，

，

所以對任意在區間內均存在零點，即存在，使得．

②當，即時，在內單調遞減，在內單調遞增，

所以時，函數取最小值，

又，

若，則，，

所以在內存在零點；

若，則，所以在內存在零點，

所以，對任意在區間內均存在零點，即存在，使得．

結合①②，對任意的，總存在，使得．