Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求曲線在處的切線方程；

（2）討論的單調性；

（3）設過兩點的直線的斜率為，其中、為曲線上的任意兩點，并且，若恒成立，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）由導數幾何意義得切線斜率為,再根據點斜式求切線方程（2）因為導函數為,所以根據， 討論: ，在上遞增； 遞增； 遞減．（3）由（2）知的單調性，又，所以由恒成立得,利用斜率公式化簡得,轉化為利用導數證明，易證.

試題解析：解：（1）當時， ，

對函數求導得，

，又，

曲線在處的切線方程為： ；

（2）求導得．

若， ， 在上遞增；

若，當時， ， 單調遞增；

當時， ， 單調遞減．

（3）由（2）知，若， 在上遞增，

又，故不恒成立．

若，當時， 遞減， ，不合題意．

若，當時， 遞增， ，不合題意．

若， 在上遞增，在上遞減，

，合題意．

故，且（當且僅當時取“=”）．

設，

，

因此， .