Question

（1）已知tan(α+

π

4

)=-3，求

sinα(3cosα-sinα)

1+tanα

的值．
（2）如圖：△ABC中，|

AC

|=2|

AB

|，D在線段BC上，且

DC

=2

BD

，BM是中線，用向量證明AD⊥BM．（平面幾何證明不得分）

Answer 1

分析：（1）先把已知條件利用兩角和與差的正切函數公式化簡，然后通過觀察所求的式子發現：分子分母中既有弦還有切，而已知條件只能求出正切，所以把原式里的正弦和余弦化切，即給分子分母都除以cos²α（分母還應根據弦切互化公式化弦），最后代入求值；
（2）要證明AD⊥BM，即要證明

AD

•

BM

=0，所以就要表示出

AD

和

BM

，利用三角形法則分別表示出即可．

解答：解：（1）∵tan(α+

π

4

)=-3，∴tanα=2
∴

sinα(3cosα-sinα)

1+tanα

=

3tanα-tan2α

(1+tanα)(1+tan2α)

=

2

15

（2）在三角形ABC中，利用三角形法則得

AD

-

AB

=

BD

，

AC

-

AD

=

DC

，
因為

DC

=2

BD

，代入求得：

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

；
因為M為AC的中點，所以

AM

=

MC

，而

BM

-

BA

=

AM

，

BC

-

BM

=

MC

，則有

BM

=-

AB

+

1

2

AC

，
∴

AD

•

BM

=

1

6

(4|

AB

|2-|

AC

|2)=0，
∴AD⊥BM．

點評：本題考查了兩角和的正切函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及先切互化公式，向量的表示法，讓學生學會了用向量的方法證明兩條線段的垂直，本題是一道多知識點的綜合題，要求學生對每一個知識點都要靈活掌握和應用．