Question

已知橢圓（a＞b＞0）的右焦點為F₂（3，0），離心率為．
（1）求橢圓的方程．
（2）設直線y-kx與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF₂，BF₂的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得，解得a，再結合a²=b²+c²，可求得b²，從而可得橢圓的方程；
（2）由橢圓的方程與直線的方程y=kx聯立，得（3+12k²）x²-12×3=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），依題意，AF₂⊥BF₂，由•=0即可求得k的值．
解答：解：（1）由題意得，得a=2．  …（2分）
結合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．…（4分）
所以，橢圓的方程為+=1．        …（6分）
（2）由，得（3+12k²）x²-12×3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=0，x₁x₂=-，…（10分）
依題意，OM⊥ON，
易知，四邊形OMF₂N為平行四邊形，所以AF₂⊥BF₂，…（12分）
因為=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），
所以•=（x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+9=0，
即+9=0，
解得k=±．…（15分）
點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力，屬于難題．