Question

已知向量

m

=(sinx，-1)，

n

=(

3

cosx，-

1

2

)，函數f(x)=

m

2+

m

•

n

-2．
（1）若x∈(

π

6

，

π

2

)，求f（x）的值域；
（2）已知a、b、c分別為△ABC內角A、B、C的對邊，且a，b，c成等比數列，角B為銳角，且f（B）=1，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

分析：（1）由數量積的運算化簡已知式子，結合角x的范圍和三角函數的性質可得；
（2）由（1）可知f(B)=sin(2B-

π

6

)=1，進而可得B=

π

3

，再由等比數列可得b²=ac，結合正弦定理得sin²B=sinAsinC，代入要求的式子由三角函數的知識化簡可得．

解答：解：（1）由題意可得f(x)=(

m

+

n

)•

m

-2
=sin2x+1+

3

sinxcosx+

1

2

-2
=

1-cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
∵x∈(

π

6

，

π

2

)，∴2x-

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴f(x)∈(

1

2

，1]．
（2）由（1）可知f(B)=sin(2B-

π

6

)=1，
∵0＜B＜

π

2

，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，B=

π

3

．
又∴a，b，c成等比數列，∴b²=ac
由正弦定理得sin²B=sinAsinC，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

1

sinB

=

2 3

3

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算，涉及三角函數的化簡和正弦定理的應用，屬中檔題．