Question

如圖，平面α上定點F到定直線l的距離FA=2，曲線C是平面α上到定點F和到定直線l的距離相等的動點P的軌跡．設FB⊥α，且FB=2．
（1）若曲線C上存在點P₀，使得P₀B⊥AB，試求直線P₀B與平面α所成角θ的大小；
（2）對（1）中P₀，求點F到平面ABP₀的距離h．

Answer 1

（1）（解法一）如圖，以線段FA的中點為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz．
由題意，曲線C是平面α上以原點O為頂點，由于在xOy平面內，CF（2，0，0）
是以O為頂點，以x軸為對稱軸的拋物線，其方程為y²=4x，
因此，可設P(

y2

4

，y，0)A（-1，0，0），B（1，0，2），所以，

AB

=(2，0，2)，

PB

=(1-

y2

4

，-y，2)．
由P₀B⊥AB，得2(1-

y2

4

)+4=0⇒y=2

3

，⇒P(3，2

3

，0)
所以，直線P₀B與平面α所成角的大小為arctan

1

2

（或arcsin

3

3

）．
（解法二）如圖，以點A為原點O，以線段FA所在的直線為x軸，建立空間直角坐標系O-xyz．
所以，A（0，0，0），B（2，0，2），F（2，0，0），并設P（x，y，0），
由題意，

PB2+AB2=AP2 PF=PE.

(x-2)2+y2+4+8=x2+y2 (x-2)2+y2=x2.

⇒P(3，2

3

，0)
所以，直線P₀B與平面α所成角的大小為arctan

1

2

（或arcsin

3

3

）．
（2）（解法一）由（1），得△ABP的面積為S△ABP=2

10

，△AFP的面積為S△AFP=2

3

，
所以，

1

3

×2

10

h=

1

3

×2

3

×2，
解得，h=

30

5

．
（解法二）

AB

=(2，0，2)，

AP

=(4，2

3

，0)，設向量

n

=(x，y，z)
則

2x+2z=0 4x+2 3 y=0

所以，平面ABP₀的一個法向量

n0

=(3，-2

3

，-3)，∴h=

| AF • n0 |

| n0 |

=

30

5

．