Question

如圖，三棱錐P-ABC的頂點(diǎn)P在圓柱曲線(xiàn)O₁O上，底面△ABC內(nèi)接于⊙O的直徑，且∠ABC=60°，O₁O=AB=4，⊙O₁上一點(diǎn)D在平面ABC上的射影E恰為劣弧AC的中點(diǎn)．
（1）設(shè)三棱錐P-ABC的體積為

3

3

，求證：DO⊥平面PAC；
（2）若⊙O上恰有一點(diǎn)F滿(mǎn)足DF⊥平面PAC，求二面角D-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析：法一（幾何法）：（1）連接DE，OE，，設(shè)OE與AC的交點(diǎn)為G，連接PG，由題設(shè)條件知可先證明DO⊥AC，再證明DO⊥PG，然后由線(xiàn)面垂直的判斷定理證明DO⊥平面PAC；
（2）由題設(shè)條件及圖知，可證明∠DGP即為二面角D-AC-P的平面角，然后在△DGP中，由余弦定理可求得cos∠DGP=

3 34

34

．
法二（空間向量法）：（1）可建立空間坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)DO的方向向量與平面PAC內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的方向向量，然后根據(jù)向量的數(shù)量積為0證明此線(xiàn)垂直于平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)，從而由線(xiàn)面垂直的判定定理證明得線(xiàn)面垂直；
（2）由題意可得DF⊥平面PAC，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y，0），故

DF

=(x-

3

，y+1，-4)即為平面PAC的法向量，設(shè)平面DAC的法向量

n

=(x，y，z)，由題設(shè)條件建立方程解出此兩向量的坐標(biāo)，求出此向量的夾角即可得到兩平面所成的銳二面角．

解答：解：法一：（1）連接DE，OE，，設(shè)OE與AC的交點(diǎn)為G，連接PG，因?yàn)槿�角形ABC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，所以三角形ABC為直角三角形，
又∠ABC=60°，AB=4，又BC=2，AC=2

3

，S△ABC=2

3

，所以VP-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

2 3

3

PO=

3

3

，故PO=

1

2

，
因?yàn)镋是劣弧AC的中點(diǎn)，所以OE⊥AC，OG=

1

2

BC=1，
又因?yàn)镈E⊥平面ABC，故DE⊥AC，所以AC⊥平面DEOO₁，故DO⊥AC．
在矩形DEOO₁中，tan∠PGO=

PO

OG

=

1

2

，tan∠DOO1=

DO1

OO1

=

1

2

，
故∠PGO=∠DOO₁，
又∠DOO1+∠DOG=900，故∠PGO+∠DOG=90°，
所以DO⊥PG，
所以DO⊥平面PAC．
（2）由（1）知，AC⊥平面DEOO₁，
所以平面DEOO₁⊥平面PAC，
因?yàn)镈F⊥平面PAC，
所以DF?平面DEOO₁，且DF⊥PG，
又F在圓O上，故點(diǎn)F即為點(diǎn)E關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在軸截面內(nèi)可求得PO=OG=1，
所以PG=

2

，DG=

17

，DP=

13

．
由AC⊥平面DEOO₁，得∠DGP即為二面角D-AC-P的平面角，
在△DGP中，由余弦定理可求得cos∠DGP=

3 34

34

 法二：（1）在平面ABC中，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線(xiàn)，交弧EC于H，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)椤鰽BC內(nèi)接于圓O，AB為圓O的直徑，所以△ABC為直角三角形，又∠ABC=60°，AB=4，
故BC=2，AC=2

3

，S△ABC=2

3

，
所以VP-ABC=

1

3

S△ABC×PO=

2 3

3

PO=

3

3

，
故PO=

1

2

，
故A(0，-2，0)，C(

3

，1，0)，P(0，0，

1

2

)，D(

3

，-1，4) 
所以

AC

=(

3

，3，0)，

AP

=(0，2，

1

2

)，

OD

=(

3

，-1，4) 
所以

AC•

OD

=0，

AP

•

OD

=0
故AC⊥OD，AP⊥OD，
又AC∩AP=A，
所以DO⊥平面PAC．
（2）設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y，0），
故

DF

=(x-

3

，y+1，-4)．
因?yàn)镈F⊥平面PAC，故DF⊥AC，
所以

3

x+3y=0，
又因?yàn)镕點(diǎn)在圓O上，所以x²+y²=4解得

x=- 3 y=1

或

x= 3 y=-1

（即為點(diǎn)E，舍去），所以

DF

=(-2

3

，2，-4)，
設(shè)平面DAC的法向量

n

=(x，y，z)，
則有

AD ? n =0 AC ? n =0

，，即

3 x+y+4z=0 3 x+3y=0

，
取x=

3

，則

n

=(

3

，-1，-

1

2

)．
則cos＜

n

，

DF

＞=-

3 34

34

，
由圖知D-AC-P的二面角為銳角，所以二面角D-AC-P的余弦值為

3 34

34

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直的證明與二面角的求法，是立體幾何中的常規(guī)題，解答本題常用的方法有向量法與幾何法，本題給出兩種解法，學(xué)習(xí)時(shí)要注意對(duì)比兩種解題方法的優(yōu)劣，體會(huì)向量法解立體幾何問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)