Question

求下列函數的值域
（1）y=log_a（-2sin²x+5sinx-2）；
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx．

Answer 1

分析：（1）中所給函數是由對數函數和一元二次構成的復合函數，其單調性遵循同增異減，欲求該對數函數的值域，需要采用換元法求出真數的p的范圍．
（2）中所給函數是兩個不同角的三角函數式乘積，可以用差角的正弦公式展開原式，再利用三角函數的誘導公式合并成同一名下的三角函數，最后結合三角函數自身的有界性解決本題．

解答：解：（1）令sinx=t，則-1≤t≤1，則真數 p=-2sin²x+5sinx-2=-2(t-

5

4

)2+

9

8

，p＞0
∵-1≤t≤1，∴-

9

4

≤t-

5

4

≤-

1

4

∴-9≤-2(t-

5

4

)2+

9

8

≤1，-9≤p≤1
∴0＜p≤1
即y=log_ap，（，-9≤p≤1）
故當a＞1時，函數值域為（-∞，0]
當0＜a＜1時，函數的值域為[0，+∞）．
（2）y=sin(x-

π

6

)cosx=（sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

）•cosx
=

1

2

sin(2x-

π

6

)-

1

4

∵-1≤sin(2x-

π

6

) ≤1
∴函數值域為[-

3

4

，

1

4

]．

點評：換元法或三角函數法求值域，最大的問題是范圍，要充分注意換元后的范圍以及三角函數的有界性．
另外，正（余）弦型函數y=Asin（wx+θ）+b，（y=Acos（wx+θ）+b）的特點如下：
一名（整個函數表達式只有一個三角函數名，能充分發揮三角函數性質的應用）
一角（整個函數表達式只有一個角，有利于結合三角函數的有界性）
一次（最高次冪是一次的，有利于結合繁雜的誘導公和三角函數性質）