Question

給出數列{a_n}的條件如下：①設b_n=2a_n，{b_n}是等差數列；②設b_n-1=a_n-1+a_n（n≥2），{b_n}是等差數列；
③前n項的和S_n=n²+1；④設b_n=2a_n-1，數列{b_n}前n項和為n²．其中使數列{a_n}是等差數列的條件的正確序號是

 

．

Answer 1

分析：①中根據，{b_n}是等差數列可推斷出a_n-a_n-1也是常數，進而推斷出數列{a_n}為等差數列；②中根據數列的遞推可求得a_n+1-a_n-1為常數但不是相鄰的兩項，故數列{a_n}不一定是等差數列②不正確；③根據數列的遞推式可求得數列{a_n}的通項公式，推斷出不是等差數列；④中根據2a_n-1=n²-（n-1）²求得數列的通項公式，進而推斷出數列為等差數列．最后綜合可得答案．

解答：解：對于①{b_n}是等差數列，∴b_n-b_n-1=2a_n-2a_n-1=d（常數）
∴a_n-a_n-1=

d

2

，故數列{a_n}為等差數列，①正確．
∵b_n-1=a_n-1+a_n，∴b_n=a_n+a_n+1，兩式相減得a_n+1-a_n-1=d，數列{a_n}不一定是等差數列②不正確
③中S_n=n²+1，∴當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-1，但a₁=1²+1=2不符合a_n=2n-1
∴a_n=

2，n=1 2n-1，n≥2

∴數列{a_n}不是等差數列
④2a_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，n≥2，a_n=n，當n=1時a₁=1符合
∴a_n=n，∴數列{a_n}為等差數列
故答案為：①④

點評：本題主要考查了等差數列的定義和等差數列的通項公式的應用．考查了學生對等差數列的基礎知識的綜合運用．