Question

（本題滿分15分）已知橢圓經(jīng)過點，其離心率為，設(shè)直線與橢圓相交于兩點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線與圓相切，求證：（為坐標(biāo)原點）；

（Ⅲ）以線段為鄰邊作平行四邊形，若點在橢圓上，且滿足（為坐標(biāo)原點），求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）橢圓方程為；

（Ⅱ）因為直線與圓相切，所以，即

由，得．

設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、，

則，，

所以==，

所以===0，故；

（Ⅲ）且．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知離心率為，可得等式；又因為橢圓方程過點可求得，

，進而求得橢圓的方程；

（Ⅱ）由直線與圓相切，可得與的等式關(guān)系即，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程并由韋達定理可得，，進而求出，所以由向量的數(shù)量積的定義可得的值為0，即結(jié)論得證；

（Ⅲ）由題意可分兩種情況討論：（ⅰ）當(dāng)時，點、關(guān)于原點對稱；（ⅱ）當(dāng)時，點、不關(guān)于原點對稱.分別討論兩種情形滿足條件的實數(shù)的取值范圍即可.

試題解析：（Ⅰ），

，將點代入，得，

所求橢圓方程為．

（Ⅱ）因為直線與圓相切，所以，即

由，得．

設(shè)點、的坐標(biāo)分別為、，

則，，

所以==，

所以===0，故，

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，

由向量加法平行四邊形法則得，，

（ⅰ）當(dāng)時，點、關(guān)于原點對稱，則

此時不構(gòu)成平行四邊形，不合題意．

（ⅱ）當(dāng)時，點、不關(guān)于原點對稱，則，

由，得 即

點在橢圓上，有，

化簡，得．

，有． ①

又，

由，得． ②

將①、②兩式，得 ，，則且．

綜合（ⅰ）、（ⅱ）兩種情況，得實數(shù)的取值范圍是且．

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題.