Question

【題目】已知點H（x0 ， y0）在圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中點C為圓心，D2+E2﹣4F＞0）外，由點H向圓C引切線，其中一個切點為M．
求證：|HM|= ；
（1）已知點H（x0 ， y0）在圓C：x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中點C為圓心，D2+E2﹣4F＞0）外，由點H向圓C引切線，其中一個切點為M．
求證：|HM|= ；
（2）如圖，P是直線x=4上一動點，以P為圓心的圓P經定點B（1，0），直線l是圓P在點B處的切線，過A（﹣1，0）作圓P的兩條切線分別與l交于E，F兩點．
求證：|EA|+|EB|為定值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：圓C的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，

化為標準方程為 + = ，

C（﹣ ，﹣ ），圓C的半徑為r= ，

由平面幾何知識可知，在△HMC中，∠HMC=90°；

∴HM2=HC2﹣CM2

= + ﹣

= + +Dx0+Ey0+F．

∴|HM|=

（2）解：如圖所示，設過A（﹣1，0）的圓P的兩條切線的切點分別為M，N，

由題意知EB=EM，

∴EA+EB=|AM|，

設P點坐標為（4，y0），則圓P的方程為

（x﹣4）2+（y﹣y0）2=9+y02，

即x2+y2﹣8x﹣2y0y+7=0，

由第（Ⅰ）問的結論可知

|AM|= =4，

∴|EA|+|EB|=4．

【解析】1、由題意可得在RT△HMC中,根據勾股定理可 得結果。
2、由過一點作圓的兩條切線的性質可得EB=EM，可得要求的結果EA+EB=|AM|再根據（1）的結論可求得。
【考點精析】本題主要考查了直線與圓的三種位置關系的相關知識點，需要掌握直線與圓有三種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點才能正確解答此題．