Question

已知橢圓C中心在原點、焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的最大值為3，最小值為1．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N（M、N不是左、右頂點），且以MN為直徑的圓經過橢圓的右頂點A．求證：直線l過定點，并求出定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題設條件可知解得，由此能夠推導出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由方程組消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后結合題設條件利用根的判別式和根與系數的關系求解．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的長半軸為a，半焦距為c，
則解得
∴橢圓C的標準方程為．
（Ⅱ）由方程組消去y，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由題意：△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
整理得：3+4k²-m²＞0 ①
設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
則，
由已知，AM⊥AN，且橢圓的右頂點為A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或，均滿足①
當m=-2k時，直線l的方程為y=kx-2k，過定點（2，0），舍去
當時，直線l的方程為，過定點，
故直線l過定點，且定點的坐標為．
點評：本題綜合考查橢圓的性質及應用和直線與橢圓的位置關系，具有較大的難度，解題時要注意的靈活運用．