Question

(本小題滿分14分)

已知函數(shù)，在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，存在， 使得不等式成立. 若，是數(shù)列的前項(xiàng)和.

（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列中，所有滿足的正整數(shù)的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的變號(hào)數(shù)，令（n為正整數(shù)），求數(shù)列的變號(hào)數(shù)；

（Ⅲ）設(shè)（且），使不等式

 恒成立，求正整數(shù)的最大值．

Answer 1

(本小題滿份13分)

解：（I）∵在定義域內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)

            ……1分

當(dāng)=0時(shí)，函數(shù)在上遞增     故不存在，

使得不等式成立        …… 2分

綜上，得    …….3分

         …………4分                            

（II）解法一：由題設(shè)

時(shí)，

時(shí)，數(shù)列遞增           

由                可知

即時(shí)，有且只有1個(gè)變號(hào)數(shù)；     又

即             ∴此處變號(hào)數(shù)有2個(gè)

綜上得數(shù)列共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3           ……9分

解法二：由題設(shè)            

當(dāng)時(shí)，令

又時(shí)也有   

綜上得數(shù)列共有3個(gè)變號(hào)數(shù)，即變號(hào)數(shù)為3                                 …………9分

（Ⅲ）且 時(shí)，

可轉(zhuǎn)化為    ．

設(shè)，

則當(dāng)且，

.

所以，即當(dāng)增大時(shí)，也增大．

要使不等式對于任意的恒成立，只需

即可．因?yàn)?sub>，

所以.       即

所以，正整數(shù)的最大值為5．                              ……………13分