Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若0≤x₁≤1，0≤x₂≤1，x₁+x₂≤1，則有f （x₁+x₂）≥f （x₁）+f （x₂）．
（1）試求f（0）的值；
（2）試求函數f（x）的最大值；
（3）試證明：當x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]，n∈N₊時，f（x）＜2x．

Answer 1

分析：（1）通過①②確定f（0）≥0以及f（0）≤0，試求f（0）的值；
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1通過f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁），當0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1，當x=1時，f（x）取最大值1；
（3）利用數學歸納法的證明步驟試1⁰當n=1時驗證即可；2⁰假設當n=k（k∈N₊，k≥2）時，不等式成立，證明當n=k+1時不等式也成立．

解答：解：（1）令x₁=x₂=0，依條件（3）可得f（0+0）≥2f（0），即f（0）≤0
又由條件（1）得f（0）≥0故f（0）=0（3分）
（2）任取0≤x₁＜x₂≤1可知x₂-x₁∈（0，1]，則
f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）≥f（x₁）
于是當0≤x≤1時，有f（x）≤f（1）=1因此當x=1時，f（x）取最大值1．（8分）
（3）證明：先用數學歸納法證明：當x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）時，f（x）≤

1

2n-1

1⁰當n=1時，x∈(

1

2

，1]，f（x）≤f（1）=1=

1

20

，不等式成立．
當n=2時，x∈(

1

4

，

1

2

]，

1

2

＜2x≤1，f（2x）≤1，f（2x）≥f（x）+f（x）=2f（x）
∴f（x）≤

1

2

f（2x）≤

1

2

不等式成立．
2⁰假設當n=k（k∈N₊，k≥2）時，不等式成立，即x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]時，f（x）≤

1

2k-1

則當n=k+1時，x∈(

1

2k+1

，

1

2k

]，記t=2x，則t=2x∈(

1

2k

，

1

2k-1

]，∴f（t）≤

1

2k-1

而f（t）=f（2x）≥2f（x），∴f（x）≤

1

2

f（2x）=

1

2

f（t）≤

1

2(k+1)-1

因此當n=k+1時不等式也成立．
由1⁰，2⁰知，當x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）時，f（x）≤

1

2n-1

又當x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）時，2x＞

1

2n-1

，此時f（x）＜2x．
綜上所述：當x∈(

1

2n

，

1

2n-1

]（n∈N₊）時，有f（x）＜2x．（14分）

點評：本題是中檔題，考查函數的值的求法，最值的求法，數學歸納法的應用，考查計算能力，邏輯推理能力．