Question

設(shè)C：y=x²（x＞0）上的點(diǎn)為P₀（x₀，y₀），在P₀處作曲線C的切線與x軸交于Q₁，過Q₁作平行于y軸的直線與曲線C交于P₁（x₁，y₁），然后在P₁作曲線C的切線與x軸交于Q₂，過Q₂作平行于y軸的直線與曲線C交于P₂（x₂，y₂），依此類推，作出以下各點(diǎn)：Q₃，P₃，…Q_n，P_n…．已知x₀=2，則數(shù){x_n}的通項(xiàng)公式是________．

Answer 1

分析：把x₀=2代入函數(shù)解析式，求出y₀的值，確定出P₀的坐標(biāo)，求出函數(shù)解析式的導(dǎo)函數(shù)，把P₀的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值為過P₀處作曲線C的切線的斜率，進(jìn)而確定出切線的方程，令切線方程中y=0求出x的值，即為x₁的值，同理可求出x₂的值，依此類推，按照此規(guī)律即可表示出x_n的值，得出數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．
解答：∵x₀=2，P₀（x₀，y₀）在y=x²上，
∴y₀=2²=4，即P₀（2，4），
求導(dǎo)得：y′=2x，
∴在P₀處作曲線C的切線的斜率為y′_x=2=4，
則此切線方程為y-4=4（x-2），即y=4x-4，
令y=0，解得：x=1，即x₁=1，
∴P₁（1，1），
同理可得x₂=，x₃=，…，
∴x_n=．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，直線的點(diǎn)斜式方程，是一道綜合性較強(qiáng)的題型，鍛煉了學(xué)生依此類推，歸納總結(jié)的能力．