Question

定義：設函數y=f（x）在（a，b）內可導，f'（x）為f（x）的導數，f''（x）為f'（x）的導數即f（x）的二階導數，若函數y=f（x） 在（a，b）內的二階導數恒大于等于0，則稱函數y=f（x）是（a，b）內的下凸函數（有時亦稱為凹函數）．已知函數f（x）=xlnx
（1）證明函數f（x）=xlnx是定義域內的下凸函數，并在所給直角坐標系中畫出函數f（x）=xlnx的圖象；
（2）對?x₁，x₂∈R⁺，根據所畫下凸函數f（x）=xlnx圖象特征指出x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]與x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]的大小關系；
（3）當n為正整數時，定義函數N （n）表示n的最大奇因數．如N （3）=3，N （10）=5，…．記S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），若

2n

i=1

xi=1，證明：

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），f'（x）=1+lnx，f″(x)=

1

x

＞0，由此能夠證明函數f（x）=xlnx是定義域（0，+∞）內的下凸函數，并作出其圖象．
（2）由下凸函數f（x）=xlnx的圖象特征可知：

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]．
（3）由S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），知S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），由此得到證明

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*），即證

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n．可以用數學歸納法進行證明，也可用放縮法進行證明．

解答：解：（1）函數f（x）=xlnx的定義域為（0，+∞），
f'（x）=1+lnx，f″(x)=

1

x

＞0，
故函數f（x）=xlnx是定義域（0，+∞）內的下凸函數，…（2分）
函數f（x）=xlnx在（0，

1

e

]單調遞減，在[

1

e

，+∞）單調遞增，
且f（

1

e

）=-

1

e

，f（1）=0，f（e）=e，…（3分）
故其圖象如下圖所示．…．（4分）
（2）由下凸函數f（x）=xlnx的圖象特征可知：

f(x1)+f(x2)

2

≥f(

x1+x2

2

)，
故x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
≥x₁lnx₁+x₂lnx₂≥（x₁+x₂）[ln（x₁+x₂）-ln2]
（當且僅當x₁=x₂時取=號）…．（6分）
（3）∵S（n）=N（1）+N（2）+…+N（2ⁿ），
∴S（n）=[1+3+5+…+（2ⁿ-1）]+[N（2）+N（4）+N（6]+…+N（2ⁿ）]，
∴S（n）=4^n-1+S（n-1），（n≥1），
∵S₁=N（1），S（1）=2，…（7分）
∴S(n)=4n-1+4n-2+…+41+2=

4n+2

3

…（8分）
∴ln

1

3S(n)-2

=-ln2n，
故證明

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）
即證

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n…（9分）
（證法一）數學歸納法
ⅰ）當n=1時，由（2）知命題成立．
ⅱ）假設當n=k（ k∈N^*）時命題成立，
即若x1+x2+…+x2k=1，
則x1lnx1+x2lnx2+…+x2klnx2k≥-ln2k…（10分）
當n=k+1時，x₁，x₂，…，x2k+1-1，x2k+1滿足 x1+x2+…+x2k+1-1+x2k+1=1．
設F(x)=x1lnx1+x2lnx2+…+x2k+1-1lnx2k+1-1+x2k+1lnx2k+1，
由（2）得F(x)≥(x1+x2)ln[(x1+x2)-ln2]+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln[(x2k+1-1+x2k+1)-ln2]
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln(x2k+1-1+x2k+1)-(x1+x2+…+x2k+1)ln2
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2k+1-1+x2k+1)ln(x2k+1-1+x2k+1)-ln2．
由假設可得 F（x）≥-ln2^k-ln2=-ln2^k+1，命題成立．
所以當 n=k+1時命題成立…（13分）
由ⅰ），ⅱ）可知，對一切正整數n∈N^*，命題都成立，
所以 若

2n

i=1

xi=1，則 

2n

i=1

xilnxi≥-ln2n（i，n∈N^*）．
即有

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．   …（14分）
（證法二）若x1+x2+…+x2n=1，
那么由（2）可得x1lnx1+x2lnx2+…+x2nlnx2n≥(x1+x2)ln[(x1+x2)-ln2]+…+(x2n-1+x2n)ln[(x2n-1+x2n)-ln2]…（10分）
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-(x1+x2+…+x2n)ln2…（11分）
=(x1+x2)ln(x1+x2)+…+(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-ln2…（12分）
≥(x1+x2+x3+x4)ln(x1+x2+x3+x4)+…(x2n-1+x2n)ln(x2n-1+x2n)-2ln2…（13分）
≥…≥(x1+x2+…+x2n)ln[(x1+x2+…+x2n)-ln2]-(n-1)ln2=-ln2ⁿ．
即有

2n

i=1

xilnxi≥-ln2nln

1

3S(n)-2

（i，n∈N^*）．   …（14分）

點評：本題考查下凸函數的證明，函數圖象的畫法，不等式的比較和證明，綜合性強，難度大，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．