Question

【題目】設為奇函數，a為常數.

（1）求a的值；

（2）判斷函數在時單調性并證明；

（3）若對于區間上的每一個x的值，不等式恒成立，求m取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）函數在上為增函數，證明見解析（3）

【解析】

(1)根據f(x)為奇函數,可得f(x)+f(-x)=0,然后化簡求出a的值;

(2)直接利用作差法證明對且,恒成立即可;

(3)不等式恒成立,只需,求出在[3,4]上的最小值即可得到m的取值范圍.

解:(1)因為f(x)是奇函數,所以,

即對定義域內的任意x恒成立,

化簡得,所以.

當時,真數,不符合題意,

當時,為奇函數,

所以a=-1;

(2)由(1)得.設,則

.

下面判斷與1的大小.

因為,且,

所以,即.

又,所以,所以.

又,所以,即,

所以函數在上為增函數;

(3)由已知,得.

由(2)知在上遞增,又在上遞增,

所以在上遞增.

所以,

所以.