Question

某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這3個景點的概率分別是0.4、0.5、0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響.設ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數與沒有游覽的景點數之差的絕對值.

(1)求ξ的分布列及數學期望;

(2)記“函數f(x)=x²-3ξx+1在區間［2,+∞)上單調遞增”為事件A，求事件A的概率.

Answer 1

(1)解：分別設“客人游覽甲景點”“客人游覽乙景點”“客人游覽丙景點”為事件A₁、A₂、A₃.由已知A₁、A₂、A₃相互獨立,P(A₁)=0.4,P(A₂)=0.5,P(A₃)=0.6.

    客人游覽的景點數的可能取值為0、1、2、3,相應地,客人沒有游覽的景點數的可能取值為3、2、1、0,所以ξ的可能取值為1、3.

    P(ξ=3)=P(A₁·A₂·A₃)+P(··)

    =P(A₁)P(A₂)P(A₃)+P()P()P()

    =2×0.4×0.5×0.6=0.24,

    P(ξ=1)=1-0.24=0.76.

    所以ξ的分布列為

ξ	1	3
P	0.76	0.24

    Eξ=1×0.76+3×0.24=1.48.

(2)解法一:因為f(x)=(x-ξ)²+1-ξ²,

    所以函數f(x)=x²-3ξx+1在區間［ξ,+∞)上單調遞增.

    要使f(x)在［2,+∞)上單調遞增,

    當且僅當ξ≤2,即ξ≤.

    從而P(A)=P(ξ≤)=P(ξ=1)=0.76.

解法二:ξ的可能取值為1、3.

    當ξ=1時,函數f(x)=x²-3x+1在區間［2,+∞)上單調遞增;

    當ξ=3時,函數f(x)=x²-9x+1在區間［2,+∞)上不單調遞增.

    所以P(A)=P(ξ=1)=0.76.