Question

（2012年高考（廣東理））設數列的前項和為,滿足,,且、、成等差數列.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)求數列的通項公式;

(Ⅲ)證明:對一切正整數,有.

Answer 1

解析:(Ⅰ)由,解得.

(Ⅱ)由可得(),兩式相減,可得,即,即,所以數列()是一個以為首項,3為公比的等比數列.由可得,,所以,即(),當時,,也滿足該式子,所以數列的通項公式是.

(Ⅲ)因為,所以,所以,于是.

點評:上述證法實質上是證明了一個加強命題,該加強命題的思考過程如下.

考慮構造一個公比為的等比數列,其前項和為,希望能得到,考慮到,所以令即可.由的通項公式的形式可大膽嘗試令,則,于是,此時只需證明就可以了.

當然,的選取并不唯一,也可令,此時,,與選取不同的地方在于,當時,,當時,,所以此時我們不能從第一項就開始放縮,應該保留前幾項,之后的再放縮,下面給出其證法.

當時,;當時,;當時,.

當時,,所以

.

綜上所述,命題獲證.

下面再給出的兩個證法.

法1:(數學歸納法)

①當時,左邊,右邊,命題成立.

②假設當(,)時成立,即成立.為了證明當時命題也成立,我們首先證明不等式:(,).

要證,只需證,只需證,只需證,只需證,該式子明顯成立,所以.

于是當時,,所以命題在時也成立.

綜合①②,由數學歸納法可得,對一切正整數,有.

備注:不少人認為當不等式的一邊是常數的時候是不能用數學歸納法的,其實這是一個錯誤的認識.

法2:(裂項相消法)(南海中學錢耀周提供)

當時,顯然成立.當時,顯然成立.

當時,

,又因為,所以(),所以(),所以

.

綜上所述,命題獲證.